Kahden moniulotteisen SPC-kortin laskeminen Minitabilla

Johdanto

Tilastollisen prosessinohjauksen (SPC, Statistical Process Control) historia alkaa vuodesta 1924. Tohtori Walter A. Shewhart työskenteli tällöin Bellin laboratorioiden palveluksessa ja esitteli esimiehelleen ensimmäisen yhden muuttujan SPC-kortin. SPC-kortti oli tohtori Shewhartin työkalu, jolla hän erotteli prosessin vaihtelusta satunnaissyistä johtuvan vaihtelun (common cause variation) ja erityissyistä johtuvan vaihtelun (special cause variation).^/1/

Tämän jälkeen SPC-korttien tehokkuus huomattiin varsin nopeasti ja Shewhartin työn jatkaja, tohtori W. Edwards Deming puhui niistä ja niiden tehokkuudesta esimerkiksi luennoidessaan laadusta Japanissa. Tämän jälkeen SPC:n käyttö yleistyi ja myöhemmin kortit on otettu esimerkiksi osaksi Six Sigmaa. ^/1/

Perinteiset yhden muuttujan SPC-kortit on suunniteltu yhden muuttujan monitoroimiseen. Harvoin kuitenkaan prosessissa on vain yhtä muuttujaa, jota pitää seurata. Yleensä prosessit ovat monivaiheisia ja monet eri muuttujat vaikuttavat prosessin ulostuloon. Ehkäpä kaikkein tärkeimpänä seikkana liittyen näihin prosessimuuttujiin on se, että niiden välillä on hyvin usein korrelaatiota, esimerkiksi lämmön muuttuminen vaikuttaa myös paineeseen. Näissä tapauksissa pitäisi käyttää moniulotteisia SPC-kortteja, jotta voi seurata monia muuttujia samassa kortissa yhtäaikaa.^/2,3/

Moniulotteinen SPC

Erittäin tehokas työkalu monen keskenään korreloivan prosessimuuttujan monitorointiin on moniulotteinen SPC. Näitä kortteja on kehitetty useita samoin, kuin yksiulotteisiakin SPC-kortteja.^/3/ Tässä artikkelissa moniulotteisista SPC-korteista esitellään kaksi: Hotellingin T²-kortti (Hotelling T²) ja moniulotteinen EWMA-kortti, MEWMA (Multivariate Exponentially Weighted Moving Average). Näiden korttien avulla voidaan seurata prosessin keskiarvossa tapahtuvia muutoksia. Nämä molemmat kortit voidaan laatia helposti käyttämällä Minitab-ohjelmistoa. Hotellingin T²-kortti ja MEWMA-kortti eroavat toisistaan siinä, että MEWMA-kortti on paljon herkempi prosessin keskiarvossa tapahtuville muutoksille.^/2,3,8/ Kaikki tässä artikkelissa olevat analyysit ja moniulotteisten SPC-korttien laatimiset on esitetty liitteenä olevassa Youtube-videossa.

Hotellingin T²-kortti

Hotellingin T²-kortti perustuu Mahalanobisin etäisyyteen. Mahalanobisin etäisyyden esitteli intialainen tilastotieteilijä P. C. Mahalanobis julkaisussaan vuonna 1936. Hotellingin T²-kortista ja soveltamisesta kirjoitti Harold Hotelling julkaisussaan vuonna 1947. Hotellingin T²-kortti määritellään alla olevan kaavan mukaan.^/3,4,5/ Esimerkki Hotellingin T²-kortista on esitetty kuvassa 2.

Hotellingin T²-kortti laaditaan siten, että valitaan muuttujat, joista kortti halutaan tehdä. Tämän jälkeen Minitab laskee näille muuttujille kullekin havaintoriville T²-arvon, käyttämällä yllä olevaa kaavaa (Kaava 1) ja näin lasketut T²-arvot piirretään Hotellingin T²-korttiin. Hotellingin T²-kortti hälyttää, jos yksittäinen T²-arvo ylittää aineiston perusteella korttiin lasketun ylemmän kontrollirajan (upper control limit = UCL).^/2/

Esimerkki Hotellingin T2-kortin käytöstä

Sairaalan johtaja tutkii tammikuun potilastyytyväisyyttä kyselyn avulla. Hän valitsee satunnaisesti 5 potilasta täyttämään kyselyn joka päivä. Sairaalan johtaja epäilee, että kyselyssä tyytyväisyyden ja sairaalassa olon pituuden välillä on korrelaatio, joten hän laskee korrelaatiokertoimen arvon sairaalassa käynnin pituuden ja potilastyytyväisyyden välille käyttämällä Minitab-ohjelmistoa.^/7/

Minitabilla luodusta Hotellingin T²-kortista (Kuva 2) huomataan, että kolmessa pisteessä (tammikuun 2., 18. ja 19. päivä) kortti indikoi, tilanne ei ole kontrollissa (out of control), erityissyy. Syynä tähän on tammikuun 2. ja 18. päivän molemmat muuttujat (käynnin pituus ja potilastyytyväisyys). Tammikuun 19. päivän tilanteen aiheuttaa ainoastaan potilastyytyväisyys. Minitabin tulosteesta (Kuva 2) nähdään siis myös mitkä aiheuttavat kortin ilmaisemat erityissyyt.

Exponentiallly Weighted Moving Average (MEWMA) kortti

MEWMA-kortin esittelivät artikkelissaan vuonna (1992) Lowry, Woodal, Champ ja Rigdon. MEWMA-kortti on yksiulotteisen EWMA-kortin (Exponentially Weigted Moving Average) yleistys moniulotteiseen tilanteeseen. MEWMA-kortti laaditaan siten, että valitaan muuttujat, joista kortti halutaan tehdä. Tämän jälkeen Minitab laskee näille muutujille, kullekin havaintoriville arvon, käyttämällä alla olevaa kaavaa (Kaava 2) ja näin lasketut arvot piirretään MEWMA-korttiin. MEWMA-kortti hälyttää, jos yksittäinen arvo ylittää aineiston perusteella korttiin lasketun ylemmän kontrollirajan (upper control limit = UCL).^/2,8/

Esimerkki MEWMA-kortin käytöstä

Lelutehtaan tuotantojohtaja haluaa monitoroida lelun osan painoja (g) ja pituuksia (cm) käyttämällä tilanteeseen soveltuvaa SPC-korttia. Kortin tekemistä varten kerätään 4 näytettä joka päivä, 20 päivän ajan. Tuotantojohtaja epäilee, että painon ja pituuden välillä on korrelaatiota, joten hän tutkii aluksi korrelaatiota käyttämällä Minitabia.^/7/

Kaikki pisteet MEWMA-kortissa (Kuva 4) ovat pienempiä, kuin ylempi kontrolliraja (Upper Control Limit = UCL), joka tarkoittaa, että kaikki painossa ja pituudessa ajan suhteen tapahtuvat muutokset ovat yleisten syiden aiheuttamia.

Johtopäätökset ja yhteenveto

sä julkaisussa on esitelty moniulotteisten SPC-korttien laskentaa Minitab-ohjelman avulla. Minitabissa on kaksi eri vaihtoehtoa moniulotteisille SPC-korteille. Kyseiset kortit ovat Hotellingin T²-kortti ja MEWMA-kortti. Molempia kortteja voi käyttää prosessin keskiarvon monitorointiin, kun halutaan seurata kahta tai useampaa muuttujaa, joiden vällillä on korrelaatiota, samassa kortissa. Esitellyistä korteista MEWMA-kortti on paljon herkempi keskiarvossa tapahtuville pienille muutoksille, kuin Hotellingin T²-kortti.

Lähteet:

1. Quality Knowhow Karjalainen Oy, Black Belt –kurssin materiaali, kevät 2015
2. Montgomery, D. C., 2013. Introduction to Statistical Quality Control. John Wiley & Sons, Inc. Seventh Edition.
3. Lowry, C. A., Woodal, W. H., Champ, C. W. & Rigdon, S. E., 1992. A Multivariate Exponentially Weighted Moving Average Control Chart. Technometrics, 34(1), pp.46-53.
4. Mahalanobis, P. C., 1936. On the Generalized Distance in Statistics. Proceedings of the National Institute of Sciences of India, 2(1), pp. 49-55.
5. Hotelling, H., 1947. Multivariate Quality Control, Illustrated by the Air Testing of Sample Bombsights, in: Churchill, E., Hastay, M. W. & Wallis, W. A. (eds.) Selected Techniques of Statistical Analysis for Scientific and Industrial Research and Production and Management Engineering. First Edition. McGraw-Hill, pp. 111-184.
6. Mason, R. L., Tracy, N. D. & Young, J. C., 1997. A Practical Approach for Interpreting Multivariate T2 control charts signals. Journal of Quality Technology, 29(4), pp. 396-406.
7. Minitab 17, Help
8. Lowry, C. A. & Montgomery, D. C., 1995. A Rewiev of Multivariate Control Charts. IIE Transactions, 27, pp. 800-810.